• Навигаторы
  • Видеорегистраторы
  • Проблемы при использовании
  • Ноутбуки
  • Планшеты
  • Новости
  • Закон больших чисел

    1. Слабый закон больших чисел [ ред. | ред. код ]
    2. Усиленный закон больших чисел [ ред. | ред. код ]
    3. Разница между слабым и усиленным законами больших чисел [ ред. | ред. код ]
    4. СВЧ Борель [ ред. | ред. код ]

    Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее ( арифметическое среднее ) Конечного выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднего ( математического ожидания ) Этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности И усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти везде .

    Всегда найдется такое количество испытаний, при которой с любой заданной заранее вероятностью частота появления некоторой события будет сколь угодно мало отличаться от ее вероятности.

    Ниже описаны две версии СВЧ: Слабый закон больших чисел и Усиленный закон больших чисел. Оба закона утверждают, что с определенной достоверностью среднее выборки

    X ¯ n = 1 n (X 1 + ⋯ + X n) {\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n} = {\ frac {1} {n}} (X_ {1} + \ cdots + X_ {n})} X ¯ n = 1 n (X 1 + ⋯ + X n) {\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n} = {\ frac {1} {n}} (X_ {1} + \ cdots + X_ {n})}

    направляется к математическому ожиданию

    X ¯ n → μ, n → ∞ {\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n} \, \ to \, \ mu, \ qquad \ \ qquad n \ to \ infty} X ¯ n → μ, n → ∞ {\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n} \, \ to \, \ mu, \ qquad \ \ qquad n \ to \ infty}

    где X 1, X 2, ... - конечная последовательность н.о.р. случайные величины с конечным математическим ожиданием E (X 1) = E (X 2) = ... = μ <∞.

    Слабый закон больших чисел [ ред. | ред. код ]

    Пусть имеется бесконечная последовательность одинаково распределенных и некоррелированных случайных величин {X i} i = 1 ∞ {\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i = 1} ^ {\ infty}} Пусть имеется бесконечная последовательность одинаково распределенных и   некоррелированных   случайных величин   {X i} i = 1 ∞ {\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i = 1} ^ {\ infty}}   , Определенных на одном вероятностном пространстве (Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} \ mathbb {P})} , Определенных на одном вероятностном пространстве (Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} \ mathbb {P})} . их ковариация c o v (X i, X j) = 0, ∀ i ≠ j {\ displaystyle \ mathrm {cov} (X_ {i}, X_ {j}) = 0, \; \ forall i \ not = j} . Пусть E X i = μ, ∀ i ∈ N {\ displaystyle \ mathbb {E} X_ {i} = \ mu, \; \ forall i \ in \ mathbb {N}} . Обозначим S n {\ displaystyle \ displaystyle S_ {n}} выборочное среднее первых n {\ displaystyle \ displaystyle n} членов:

    S n = 1 n Σ i = 1 n X i, n ∈ N {\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} X_ { i} \; n \ in \ mathbb {N}} S n = 1 n Σ i = 1 n X i, n ∈ N {\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} X_ { i} \; n \ in \ mathbb {N}} .

    Тогда S n → P μ {\ displaystyle S_ {n} \ to ^ {\! \! \! \! \! \! \ Mathbb {P}} \ mu} Тогда S n → P μ {\ displaystyle S_ {n} \ to ^ {\ .

    Это означает, что для любого положительного числа ε,

    lim n → ∞ Pr (| X ¯ n - μ |> ε) = 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Pr \! \ left (\, | {\ overline {X}} _ {n} - \ mu |> \ varepsilon \, \ right) = 0.} lim n → ∞ Pr (| X ¯ n - μ |> ε) = 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Pr \

    Интерпретировать этот результат можно так, что слабый закон говорит о том, что для любой заданной погрешности, неважно насколько она будет малой, для значительно больших выборок будет существовать очень высокая вероятность, что среднее значение для наблюдений будет близким к значению надежды; так что оно будет находиться в пределах погрешности.

    Как уже упоминалось, слабый закон применяется для независимых одинаково распределенных случайных величин, но существуют и другие случаи в которых он может применяться. Например, в каждой случайной величины в выборке может быть разная дисперсия, но математическое ожидание остается постоянным. Если эти дисперсии ограничены, тогда это правило применимо подобно тому как это показал Чебышев в 1867 г.. (Если математические ожидания меняются, тогда мы можем применить этот закон к среднему отклонения от соответствующих значений математических ожиданий. Тогда закон утверждать, что это будет совпадать с вероятностью до нуля.) На самом деле, доказательства Чебышева будет работать пока дисперсия среднего для первых n значений совпадать к нулю при n стремящемся к бесконечности. [1] В качестве примера, предположим что каждая случайная величина в выборке имеет распределение Гаусса с нулевым средним значением, но с дисперсией равной 2 n / log ⁡ (n + 1). {\ Displaystyle 2n / \ log (n + 1).} Как уже упоминалось, слабый закон применяется для независимых одинаково распределенных случайных величин, но существуют и другие случаи в которых он может применяться На каждом этапе, среднее иметь нормальное распределение (поскольку это среднее множества нормально распределенных величин). Дисперсия суммы величин равна сумме дисперсий, которая является асимптотической в n 2 / log ⁡ n {\ displaystyle n ^ {2} / \ log n} . Дисперсия среднего в свою очередь будет асимптотической до 1 / log ⁡ n {\ displaystyle 1 / \ log n} и стремится к нулю.

    Примером это закон больших чисел не выполняется распределение Коши . Пусть случайные числа равны тангенсу угла равномерно распределен между значениями -90 ° и + 90 °. медиана равна нулю, но математическое ожидание не существует, и на самом деле среднее из n таких величин иметь тот же распределение, что и одна такая величина. Оно не стремится к нулю при том что n стремится к бесконечности.

    Но существуют и примеры, где слабый закон больших чисел может быть применен даже при условии, что математическое ожидание не существует.

    Усиленный закон больших чисел [ ред. | ред. код ]

    Пусть имеется бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин {X i} i = 1 ∞ {\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i = 1} ^ {\ infty}} Пусть имеется бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин {X i} i = 1 ∞ {\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i = 1} ^ {\ infty}}   , Определенных на одном   вероятностном пространстве   (Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} \ mathbb {P})} , Определенных на одном вероятностном пространстве (Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} \ mathbb {P})} . Пусть E X i = μ, ∀ i ∈ N {\ displaystyle \ mathbb {E} X_ {i} = \ mu, \; \ forall i \ in \ mathbb {N}} . Обозначим S n {\ displaystyle \ displaystyle S_ {n}} выборочное среднее первых n {\ displaystyle \ displaystyle n} членов:

    S n = 1 n Σ i = 1 n X i, n ∈ N {\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} X_ { i} \; n \ in \ mathbb {N}} S n = 1 n Σ i = 1 n X i, n ∈ N {\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} X_ { i} \; n \ in \ mathbb {N}} .

    Тогда S n → μ {\ displaystyle S_ {n} \ to \ mu} Тогда S n → μ {\ displaystyle S_ {n} \ to \ mu}   почти наверняка почти наверняка .

    Разница между слабым и усиленным законами больших чисел [ ред. | ред. код ]

    Слабый закон утверждает, что для большого числа n, среднее значение X ¯ n {\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n}} Слабый закон утверждает, что для большого числа n, среднее значение X ¯ n {\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n}}   правдоподобно является близко к μ правдоподобно является близко к μ. Итак, остается возможность того, что | X ¯ n - μ | > Ε {\ displaystyle | {\ overline {X}} _ {n} - \ mu |> \ varepsilon} случается бесконечное количество раз, хотя и на редких интервалах.

    Усиленный закон утверждает, что это почти наверняка не произойдет. В частности, это означает, что с вероятностью 1, для каждого ε> 0 неравенство | X ¯ n - μ | <Ε {\ displaystyle | {\ overline {X}} _ {n} - \ mu | <\ varepsilon} Усиленный закон утверждает, что это почти наверняка не произойдет выполняется для всех достаточно больших n. [2]

    СВЧ Борель [ ред. | ред. код ]

    Закон больших чисел Бореля, в честь Борель Утверждает, что если повторять эксперимент много раз при тех же условиях и независимо от других попыток, то частота определенного события приближенно равна вероятности выпадения этого события в каждом отдельном эксперименте; чем большее количество повторений тем лучше приближения. Точнее, если E - событие, p вероятность этого события и Nn (E) - число раз когда в эксперименте выпадает событие E в n первых попытках, тогда с вероятностью 1:

    N n (E) n → p, n → ∞. {\ Displaystyle {\ frac {N_ {n} (E)} {n}} \ to p, \ n \ to \ infty. \} N n (E) n → p, n → ∞

    Эта теорема строго формализует интуитивное понятие вероятности как предельной частоты выпадения события в эксперименте. Теорема является частным случаем других более общих законов больших чисел в теории вероятности.

    Одно подбрасывания шестигранной игральной кости может выпасть одному из номеров 1, 2, 3, 4, 5, или 6 Каждая из этих событий имеет одинаковую вероятность . Таким образом, математическое ожидание для одного подбрасывания, будет следующим

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 3, 5 {\ displaystyle {\ frac {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6} {6}} = 3,5} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 3, 5 {\ displaystyle {\ frac {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6} {6}} = 3,5}

    Согласно закону больших чисел, если подбросить игральную кость большое количество раз, среднее значение полученных значений (что называют выборочным средним ) Скорее всего будет иметь значение близко к числу 3,5, так что точность этого приближения будет увеличиваться с тем чем больше будет выполнено бросков.

    Из закона больших чисел следует, что эмпирическая вероятность успешной события для выборки испытаний Бернулли будет совпадать с теоретической вероятности. для случайной величины с распределением Бернулли , Математическое ожидание равно теоретической вероятности успешной события, а среднее значение для n таких величин (при условии что они независимыми и одинаково распределенными ) Будет соответствовать относительной частоте.

    Например, подбрасывание монеты являются испытанием Бернулли. Если монету подбросить один раз, теоретическая вероятность выпадения монеты гербом в верх будет равняться 1/2. Таким образом, согласно закону больших чисел, судьба выпадения гербов при большом количестве независимых подбрасываний монеты "должна" примерно составлять 1/2. В частности, доля выпадения гербов при n независимых подбрасывании почти наверняка будет совпадать до 1/2 при n стремящемся к бесконечности.

    итальянский математик Джироламо Кардано (1501-1576) утверждал без доказательств о том, что точность эмпирической статистики улучшается с увеличением количества испытаний. [3] Впоследствии этот факт формализировали как закон больших чисел. Отдельную форму закона больших чисел для бинарной случайной величины впервые доказал Якоб Бернулли . [4] Ему понадобилось более 20 лет, чтобы выработать достаточно строгое математическое доказательство, которое он опубликовал в своей работе Ars Conjectandi [en] (Искусство угадывание) в 1713. Он назвал ее "Золотой Теоремой", но впоследствии она стала общеизвестной как "Теорема Бернулли". Не следует путать ее с закону Бернулли , Названный в честь племянника Якоба Бернулли Бернулли . В 1837, С.Д. Пуассон впоследствии описал ее под названием "la loi des grands nombres" ( "Закон больших чисел"). [5] [6] После чего, она осталась известна под двумя названиями, но название "Закон больших чисел" употребляется чаще.

    После того, как Бернулли и Пуассон опубликовали свои достижения, над улучшением закона работали и другие математики, к числу которых относятся Чебышев , [7] Марков , Борель , Кантелли [En] , Колмогоров и Александр Хинчиным [En] . Марков показал, что при определенных слабых предположениях этот закон можно применить к случайной величины, не имеет конечной дисперсии, а Хинчиным в 1929 показал, что если выборка состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин, для выполнения слабого закона больших чисел достаточно того, что существует математическое ожидание . [1] Эти дальнейшие исследования привели к появлению двух известных форм закона больших чисел. Первый называется "слабым" законом, а другой "усиленным" законом, соответствует двум разным формам приближения кумулятивного выборочного среднего к математическому ожиданию; в частности, выполнение усиленного закона предусматривает и выполнение слабого.

    1. а б Yuri Prohorov . Law of large numbers . Encyclopedia of Mathematics.
    2. ↑ Ross, (2009)
    3. ↑ Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. New York: Random House, 2008. p. 50.
    4. ↑ Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)
    5. ↑ Poisson names the "law of large numbers" (la loi des grands nombres) in: SD Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile , précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), p. 7 . He attempts a two-part proof of the law on pp. 139-143 and pp. 277 ff.
    6. ↑ Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism", Journal of the History of Ideas, 44 (3), 455-475 JSTOR 2709176
    7. ↑ Tchebichef, P. (1846). Démonstration élémentaire d'une proposition générale de la théorie des probabilités. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 1846 (33): 259-267. doi : 10.1515 / crll.1846.33.259 .

    Похожие

    Tested Лучшие 12 шаровых грилей протестированы 05/2019 - сертифицировано TÜV
    ... ред покупкой барбекю стоит поближе познакомиться с широким разнообразием моделей разных компаний. По сути, решение о покупке начинается с того, что вы должны выбрать правильный тип тепловыделения . Традиционно быть с реальным бука гриль, другие предпочитают современные методы, такие как гриль на газе, который имеет в использовании и имеет совершенно разные вкусы. В этом обзоре мы более подробно
    Что такое реклама одежды и для чего она нужна?
    Каждый из нас неоднократно сталкивался в нашей повседневной жизни с так называемыми реклама одежды, не осознавая этого факта. Одежда, помеченная логотипом или рекламным слоганом как форма продвижения и укрепления отношений с брендом, используется уже много лет. Хотя одежда для компаний также имеет множество других применений, главная цель - привлечь внимание нынешних и потенциальных клиентов компании. Есть несколько категорий, все менее и более популярных,
    Prognos AG: количество детей в больших городах сильно растет
    В больших городах растет все больше детей. Число шестилетних в немецких городах резко возросло за последние десять лет - например, примерно на 50 процентов в Лейпциге и на 26 процентов в Берлине. В целом, доля детей младшего возраста в городах за пределами города значительно выросла с 2005 года - и в настоящее время значительно выше на 5,6 процента, чем в округах , где доля детей составляет 5,1 процента. Это результат анализа Prognos AG для Фонда Фридриха
    Планета Спорт Ваучер Май 2019
    ... код скидки Planet Sports и сэкономить, в магазине останутся только покупки. Хорошие сбережения в Planet Sports Бесплатные ваучеры от Planet Sports Как вы знаете, наша база данных Stern фокусируется на всех сбережениях, которые вы можете сделать, чтобы сохранить свой кошелек. Конечно, это также включает ваучеры Planet Sports, которые дают вам значительные ценовые преимущества до 20 процентов на выбранные группы продуктов. Кроме того, может
    Без сомнения, костюм - единственный предмет в мужском гардеробе, который отражает мужской стиль. У каждого мужчины ...
    Без сомнения, костюм - единственный предмет в мужском гардеробе, который отражает мужской стиль. У каждого мужчины должен быть хотя бы один костюм, который одновременно классически стильный
    CAD электрическая PCSCHEMATIC
    ... редопределенных символов в соответствии со стандартами IEC / EN до автоматической генерации отчетов и графических планов"> <- Вернуться к списку статей В этой статье вы увидите, что мы сделали, чтобы помочь вам применять эти стандарты простым способом на всех этапах создания электрической документации: от открытия первого шаблона проекта, вставки предопределенных символов в соответствии со стандартами

    Комментарии

    В чем разница между рекламной одеждой и одеждой, доступной в розничных магазинах?
    В чем разница между рекламной одеждой и одеждой, доступной в розничных магазинах? Рекламная одежда отличается от текстиля, распространяемого в розничных магазинах с несколькими ключевыми свойствами. Прежде всего, он подходит для маркировки , имеет карманы, чтобы на машинах было проще наносить логотипы, например, при маркировке задней части куртки методом компьютерная вышивка
    Каковы различия между ними?
    Каковы различия между ними? Интеллектуальные часы - что это? Как работает SmartWatch? - смотреть функции с телефона Smartwatch - это часы с собственной операционной системой, например, умные часы iPhone могут иметь систему WatchOS от Apple или автора от другого производителя. Основная задача умных часов - подключиться к смартфону и упростить его использование. Пользователь умных часов видит на своем дисплее уведомления о звонках, текстовых сообщениях, электронных
    1. Одиночные и двубортные пиджаки - какая разница?
    1. Одиночные и двубортные пиджаки - какая разница? Однобортный пиджак имеет две половинки, которые застегиваются спереди. Это более классический стиль, он широко доступен и используется. Количество пуговиц на одной нагрудной куртке варьируется от одной до четырех. Стандартные стили однотонной куртки имеют две или три пуговицы с выемкой .

    В чем разница между рекламной одеждой и одеждой, доступной в розничных магазинах?
    Каковы различия между ними?
    Интеллектуальные часы - что это?
    Как работает SmartWatch?
    1. Одиночные и двубортные пиджаки - какая разница?
    1. Одиночные и двубортные пиджаки - какая разница?

    Новости

    Видеорегистраторы для автомобиля
    Рост интенсивности движения на наших дорогах не гарантирует даже самому законопослушному автомобилисту безаварийной эксплуатации транспортного средства. Даже при самой аккуратной езде и строгом соблюдении

    Как установить навител на навигатор
    На самом деле, правильнее было бы сказать - переустановка ))) Но так как суть процесса от этого особо не меняется, то пусть будет просто "установка". Итак, в один непрекрасный день

    Завис планшет самсунг что делать
    В этой статье мы посмотрим что делать если завис Самсунг Галакси таб 3 и не реагирует не на какие действия, как его выключить или перезагрузить. Чем технологичней смартфон или планшет, тем более вероятность,

    Видеорегистраторы рейтинг 2016 отзывы
    Автомобильные регистраторы стали неотъемлемым атрибутом автомобиля. С их помощью можно решить спорные вопросы при ДТП, дополнительно устройства имеют несколько вспомогательных функций. Для выбора оптимального

    Залили ноутбук: что делать?
    Практически каждый пользователь перед экраном монитора компьютера и ноутбука пьет чай, кофе или воду. В связи с этим, по неаккуратности можно случайно пролить жидкость на клавиатуру. С компьютером все

    Планшет леново завис и не включается
    Содержание: Отключение и включениеИзвлечение аксессуаровHard Reset Как хорошо, когда

    Адаптер питания для ноутбука
    Блоки питания для ноутбуков Блок питания для ноутбука позволяет подключить портативный компьютер к централизованной электросети — как для обеспечения его работы, так и для подзарядки аккумулятора. Он